Question

16．抛物线x²=2py（p＞0）上一 点A（$\sqrt{3}$，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为$\frac{13}{4}$，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$的取值范围为$[3-\sqrt{3}，3+\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 利用点$A（\sqrt{3}，\;\;m）$在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为$\frac{3}{2p}+\frac{p}{2}=\frac{13}{4}$，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．

解答 解：因为点$A（\sqrt{3}，\;\;m）$在抛物线上，所以$3=2pm⇒m=\frac{3}{2p}$，点A到准线的距离为$\frac{3}{2p}+\frac{p}{2}=\frac{13}{4}$，
解得$p=\frac{1}{2}$或p=6．当p=6时，$m=\frac{1}{4}＜1$，故p=6舍去，所以抛物线方程为x²=y，∴$A（\sqrt{3}，\;\;3），\;\;B（-\sqrt{3}，\;\;3）$，所以△OAB是正三角形，边长为$2\sqrt{3}$，其内切圆方程为x²+（y-2）²=1，如图4，∴$E（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;\frac{3}{2}}）$．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则$\overrightarrow{OE}\;•\;\overrightarrow{OF}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ+3+\frac{3}{2}sinθ=3+\sqrt{3}sin（{θ+\frac{π}{6}}）$，
∴$\overrightarrow{OE}\;•\;\overrightarrow{OF}∈[3-\sqrt{3}，\;\;3+\sqrt{3}]$．

故答案为：$[3-\sqrt{3}，3+\sqrt{3}]$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．