Question

6．已知F（x）=e^x（ax-1）-a（x-1），a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）=F（x）+a（x-1）的单调性；
（Ⅱ）若有多于两个整数x_i（i=1，2，3…n，n≥3）使得F（x_i）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）法一：分别求出f（x）和g（x）的特殊值，通过a的范围，通过观察f（x），g（x）的图象求出a的范围即可；法二：分离参数，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）因f（x）=F（x）+a（x-1）=e^x（ax-1），f′（x）=e^x（ax+a-1），
所以，当a=0时，f′（x）＜0在R上恒成立，即f（x）在R上单调递减；
当a＞0时，f′（x）＞0的解为{x|x＞$\frac{1}{a}$-1}，
即f（x）在（$\frac{1}{a}$-1，+∞）上单调递增，在（-∞，$\frac{1}{a}$-1）上单调递减；
当a＜0时，f′（x）＞0的解为{x|x＜$\frac{1}{a}$-1}，
即f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$-1））上单调递增，在（$\frac{1}{a}$-1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）方法一：若有多于两个整数x_i（i=1，2，3…n），使得f（x_i）＜g（x_i）成立，
则a（xe^x-x+1）＜e^x有两个以上整数解，
因为y=x（e^x-1）+1，当x＞0时，e^x-1＞0，x（e^x-1）+1＞0；
当x＜0时，e^x-1＜0，x（e^x-1）+1＞0，
所以，a＜$\frac{{e}^{x}}{{xe}^{x}-x+1}$有两个以上整数解．
设g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{xe}^{x}-x+1}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（2-x{-e}^{x}）}{{（{xe}^{x}-x+1）}^{2}}$，
令h（x）=2-x-e^x，则h′（x）=-1-e^x＜0，
又h（0）=1＞0，h（1）=1-e＜0，所以?x₀∈（0，1），使得h（x₀）=0，
∴g（x）在（-∞，x₀）为增函数，在（x₀，+∞）上为减函数，
∴a＜$\frac{{e}^{x}}{{xe}^{x}-x+1}$有两个以上整数解的充要条件是a＜g（-1）=$\frac{1}{2e-1}$，或a＜g（2）=$\frac{{e}^{2}}{{2e}^{2}-1}$，
解得：a＜$\frac{{e}^{2}}{{2e}^{2}-1}$；
方法二：F（x）=e^x（ax-1）-a（x-1）＜0，得：e^x（ax-1）＜a（x-1），
设g（x）=a（x-1），问题转化为f（x_i）＜g（x_i），
有三个或三个以上整数x_i的解i=（1，2，3，…，n，n≥3），
当a=0时，f（x）=-e^x，g（x）=0，此时f（x）＜g（x）的解集为R，此情况成立；
当a＜0时，f（0）=-1＜g（0）=-a，f（1）=e（a-1）＜g（1）=0，f（2）=e²（2a-1）＜g（2）=a，
可见f（x）＜g（x）的解集不仅仅两个整数解，此情况成立；
当a＞0时，由（Ⅰ）可知f（x）的极值点为$\frac{1}{a}$-1，
又f（0）=-1，g（1）=0，f（$\frac{1}{a}$-1）=${e}^{\frac{1-a}{a}}$（-a），而且，f（x）仅有一个零点$\frac{1}{a}$，
若0＜$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1，由（Ⅰ）知f（x）的单调性，以及f（$\frac{1}{a}$-1）=${e}^{\frac{1-a}{a}}$（-a）＜0，
有f（x）与g（x）的草图如下：

因-1＜$\frac{1}{a}$-1＜0，
所以在（-∞，-1]上f（x）单调递减，g（x）单调递增，
所以f（x）_min=f（-1）=-$\frac{a+1}{e}$，g（x）min=g（-1）=-2a，
所以在（-∞，-1]上，f（x）＞g（x）恒成立．
又f（0）=-1＞g（0）=-a，在x∈[1，+∞）上，又a≥1，所以e^x＞1，ax-1≥0，
所以f（x）=e^x（ax-1）＞ax-1=a（x-1）+a-1≥a（x-1）=g（x），
所以在a≥1时，在R上没有使得f（x）＜g（x）的整数解存在；
若$\frac{1}{a}$＞1，即0＜a＜1时，f（x）与g（x）的草图如下：

因为f（0）=-1＜-a=g（0），f（1）=e（a-1）＜0=g（1），
f（-1）＜g（-1）或f（2）＜g（2）成立即可，解得：0＜a＜$\frac{{e}^{2}}{{2e}^{2}-1}$，
综上所述：a＜$\frac{{e}^{2}}{{2e}^{2}-1}$．

点评 本题考查了函数函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．