Question

7．已知f（x）=x+$\frac{9}{x}$在区间[1，4]上的最小值为n，则二项式（x-$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式中x²的系数为15．

Answer 1

分析 利用导数研究函数f（x）的单调性，即可得出最小值．再利用二项式定理的通项公式即可得出．

解答 解：f′（x）=1-$\frac{9}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-3）}{{x}^{2}}$，x∈[1，4]．
令f′（x）=0，解得x=3．∴x∈[1，3]时，函数f（x）单调递减；x∈（3，4]时，函数f（x）单调递增．
∴x=3时，函数f（x）取得最小值6．
∴$（x-\frac{1}{x}）^{6}$的通项公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{6}^{r}$x^6-2r，
令6-2r=2，解得r=2．
∴二项式（x-$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式中x²的系数为${∁}_{6}^{2}$=15．
故答案为：15．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．