Question

7．若过点A（1，0），且与y轴的夹角为$\frac{π}{6}$的直线与抛物线y²=4x交于P、Q两点，则|PQ|=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 设AB：y=$\sqrt{3}$（x-1），将直线方程代入到抛物线方程当中得：3x²-10x+3=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，由焦半径公式得|PQ|=|PF|+|FQ|=x₁+x₂+p即可．

解答 解：根据抛物线y²=4x方程得：焦点坐标F（1，0），
直线AB的斜率为k=tan60°=$\sqrt{3}$
由直线方程的点斜式方程，设AB：y=$\sqrt{3}$（x-1）
将直线方程代入到抛物线方程当中，得：3（x-1）²=4x
整理得：3x²-10x+3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，由焦半径公式得|PQ|=|PF|+|FQ|=x₁+x₂+p=$\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$

点评 本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的焦点弦长问题，属于中档题．