Question

15．已知△ABC外接圆直径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C=60°．
（1）求$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$的值；
（2）若a+b=ab，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，再利用比例的性质即可得出．
（2）由正弦定理可得：$\frac{c}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，可得c=2．由余弦定理可得：2²=a²+b²-2abcos60°，化为：a²+b²-ab=4．又a+b=ab，解得ab，可得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$．

解答 解：（1）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=2R=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（2）由正弦定理可得：$\frac{c}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∴c=2．
由余弦定理可得：2²=a²+b²-2abcos60°，化为：a²+b²-ab=4．
又a+b=ab，
∴（a+b）²-3ab=a²b²-3ab=4，
解得ab=4．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×4×sin6{0}^{°}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理、余弦定理、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．