Question

6．已知函数f（x）=5sinxcosx-5$\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$
求：（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角差的正弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期公式计算得答案；
（2）利用正弦函数的单调性，解不等式即可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=5sinxcosx-5$\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{5}{2}sin2x-\frac{5\sqrt{3}（1+cos2x）}{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{5}{2}sin2x-\frac{5\sqrt{3}}{2}cos2x$=$5（sin2xcos\frac{π}{3}-cos2xsin\frac{π}{3}）$
$f（x）=5sinxcosx-5\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$=$5sin（2x-\frac{π}{3}）$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）由题意，解不等式$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，
得$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ，（k∈Z）$．
∴f（x）的单调递增区间是$[-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ]（k∈Z）$．

点评 本题考查三角函数的二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．