Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=

an2-2an+2

+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n+a_n+1-2，证明

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

n+1

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）证明{（a_n-1）²}是首项为1，公差为1的等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=a_n+a_n+1-2=

n+1

+

n

，可得

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

2

-1+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：∵a_n+1=

an2-2an+2

+1，
∴（a_n+1-1）²-（a_n-1）²=1，
又（a₁-1）²=1
∴{（a_n-1）²}是首项为1，公差为1的等差数列…（4分）
∴（a_n-1）²=n
∴a_n-1=

n

，∴a_n=

n

+1…（7分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，b_n=a_n+a_n+1-2=

n+1

+

n

∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

2

-1+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1
于是，

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

n+1

．…（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．