Question

4．设命题p：点（2x+3-x²，x-2）在第四象限；命题q：x²-（3a+6）x+2a²+6a＜0，若?p是?q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先化简命题p，q，将条件?p是?q的必要不充分条件，转化为q是p的必要不充分条件，进行求解．

解答 解：若点（2x+3-x²，x-2）在第四象限；
则$\left\{\begin{array}{l}{2x+3-{x}^{2}＞0}\\{x-2＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜3}\\{x＜2}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜2．即p：-1＜x＜2．
由x²-（3a+6）x+2a²+6a＜0得（x-a）[x-（2a+6）]＜0，
对应方程的根为a，2a+6，若a=2a+6，得a=-6，
若a=-6，则不等式的解集为∅，
若a＞-6，a＜2a+6，则不等式的解为a＜x＜2a+6，
若a＜-6，a＞2a+6，则不等式的解为2a+6＜x＜a，
若?p是?q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，
则必有a＞-6，且满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞-6}\\{a≤-1}\\{2a+6≥2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞-6}\\{a≤-1}\\{a≥-2}\end{array}\right.$，
解得-2≤a≤-1．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性，将条件进行转化是解决本题的关键，注意端点等号的取舍．