Question

17．函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），当x＜0时，3f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（1）＜2016f（$\root{3}{2016}$）＜2017f（$\root{3}{2017}$）
• B． 2017f（$\root{3}{2017}$）＜f（1）＜2016f（$\root{3}{2016}$）
• C． 2016f（$\root{3}{2016}$）＜f（1）＜2017f（$\root{3}{2017}$）
• D． 2017f（$\root{3}{2017}$）＜2016f（$\root{3}{2016}$）＜f（1）

Answer 1

分析 根据题意，构造函数g（x）=x³f（x），分析可得g（x）为奇函数，对g（x）求导可得g′（x）=3x²f（x）+x³f′（x）=x²[3f（x）+xf′（x）]，结合题意分析可得当x＜0时，g′（x）＜0，则g（x）为减函数，又由函数的奇偶性分析可得g（x）在（0，+∞）上也是减函数，进而有g（1）=1³×f（1）=f（1），g（2016）=2016f（$\root{3}{2016}$），g（2017）=2017f（$\root{3}{2017}$），结合函数的单调性分析可得答案．

解答 解：根据题意，设g（x）=x³f（x），
则有g（-x）=（-x）³f（-x）=-x³f（x）=-g（x），则g（x）为奇函数，
g′（x）=3x²f（x）+x³f′（x）=x²[3f（x）+xf′（x）]，
又由当x＜0时，3f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
则当x＜0时，g′（x）＜0，则g（x）为减函数，
又由函数g（x）为奇函数，则g（x）在（0，+∞）上也是减函数，
g（1）=1³×f（1）=f（1），g（2016）=2016f（$\root{3}{2016}$），g（2017）=2017f（$\root{3}{2017}$），
则有g（1）＞g（2016）＞g（2017），
即2017f（$\root{3}{2017}$）＜2016f（$\root{3}{2016}$）＜f（1）；
故选：D．

点评 本题考查导数与函数单调性的关系，关键是构造函数g（x），并分析函数g（x）的单调性．