Question

设函数f(x)=-

1

3

x3+2ax2-3a2x+1(0＜a＜1)，
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤g（x）≤a成立，试确定实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=-x²+4ax-3a²，且0＜a＜1，（1分）
当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；
当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）g（x）=f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-2a）²+a²，（7分）
g（x）=x²+4ax-3a²=-（x-3a）（x-a）
①当0＜a＜

1

3

时，1-a＞2a，∴g（x）在区间[1-a，1+a]内单调递减
∴[g(x)]max=g(1-a)=-8a2+6a-1，且[g（x）]_min=g（1+a）=2a-1
∵恒有-a≤g（x）≤a成立
∵

-8a2+6a-1≤a 2a-1≥-a

又0＜a＜

1

3

，此时，a∈∅…（10分）
②当2a＞1-a，且2a＜a+1时，即

1

3

＜a＜1，[g（x）]_max=g（2a）=a²．
∵-a≤g（x）≤a，∴

f′(1+a)≥-a    f′(1-a)≥-a   f′(2a)≤a

，即

2a-1≥-a    -8a2+6a-1≥-a   a2≤a

∴

0≤a≤1   a≥ 1 3   7- 17 16 ≤a≤ 7+ 17 16

∴

1

3

≤a≤

7+ 17

16

．（12分）
ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分）
综上所述，实数a的取值范围为

1

3

≤a≤

7+ 17

16

．（14分）