Question

若关于x的不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集为空集，则实数a的取值范围为

[

3 +1

4

，+∞)

．

Answer 1

分析：先二次项系数和0的大小关系分情况讨论；再在每一种情况下找到满足要求的实数a的取值范围；最后综合即可．（注意不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集为空集等价于所有的函数值都大于等于0，即最小值大于等于0）．

解答：解：当a=0时，-|x+1|＜0的解集不是空集；  这种情况舍去．
又因为开口向下的二次函数图象是向下无限延伸的，
所以ax²-|x+1|+2a＜0的解集不可能为空集．这种情况舍去．
当a＞0，
当x≤-1时，不等式ax²-|x+1|+2a＜0为ax²+x+2a+1＜0
对称轴为x=

1

2a

＞0，
∵关于x的不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集为空集，
∴f（x）_min=f（-1）≥0⇒a≥0，
∴a≥0
当x＞-1时，不等式ax²-|x+1|+2a＜0为ax²-x+2a-1＜0，
对称轴为x=

1

2a

＞0，
∵关于x的不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集为空集
∴f（x）_min=f（

1

2a

）≥0⇒8a²-4a-1≥0⇒a≥

3 +1

4

，a≤

1- 3

4

．
∴a≥

1+ 3

4

综上得：a≥

1+ 3

4

故答案为：[

1+ 3

4

，+∞）．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是对参数的范围进行分类讨论，分类解不等式，此题是一元二次不等式解法中的难题，易因为分类不清与分类有遗漏导致解题失败，解答此类题时要严谨，避免考虑不完善出错．