Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin\frac{πx}{2}（x≤0）}\\{f（x-2）+2（x＞0）}\end{array}\right.$，把方程f（x）-x=0的实数解按从小到大的顺序排列成一个数列$\left\{{a_n}\right\}（n∈{N^*}）$，设$h（x）=x+{log_2}\frac{2+x}{8-x}$，则数列{h（a_n）}的各项之和为（　　）

• A． 36
• B． 33
• C． 30
• D． 27

Answer 1

分析 方程f（x）-x=0的实数解可化为函数f（x）与函数y=x的交点的横坐标，作函数f（x）与函数y=x的图象，结合图象及$h（x）=x+{log_2}\frac{2+x}{8-x}$的定义域可得数列{h（a_n）}中a_n仅可以取-1，0，1，2，3，4，5，6，7；又由h（x）+h（6-x）=$（x+{log_2}\frac{2+x}{8-x}）$$+（6-x+{log_2}\frac{8-x}{2+x}）$=6，从而解得．

解答 解：方程f（x）-x=0的实数解可化为函数f（x）与函数y=x的交点的横坐标，
作函数f（x）与函数y=x的图象如下，

结合图象可得，
a_n=n-2；
又∵$h（x）=x+{log_2}\frac{2+x}{8-x}$的定义域为（-2，8），
∴数列{h（a_n）}中a_n仅可以取-1，0，1，2，3，4，5，6，7；
又∵h（x）+h（6-x）=$（x+{log_2}\frac{2+x}{8-x}）$$+（6-x+{log_2}\frac{8-x}{2+x}）$=6，
且$h（3）=3+{log_2}\frac{2+3}{8-3}=3$，
∴h（-1）+h（0）+h（1）+h（2）+h（3）+h（4）+h（5）+h（6）+h（7）
=（h（-1）+h（7））+（h（0）+h（6））+（h（1）+h（5））+（h（2）+h（4））+h（3）
=6×4+3=27．
故选：D．

点评 本题考查了数形结合的思想应用，同时考查了函数与数列的综合应用，属于难题．