Question

已知数列{a_n}满足a₁＞0，a_n+1=2-|a_n|，n∈N^*．
（Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等比数列，求a₁的值；
（Ⅱ）是否存在a₁，使数列{a_n}为等差数列？若存在，求出所有这样的a₁；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）把a₂，a₃表示为a₁的式子，通过对a₁的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a₁，a₂，a₃成等比数列可得关于a₁的方程，解出即可；
（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则a₁，a₂，a₃成等差数列，即2a₂=a₁+a₃，亦即2-a₁+|2-|a₁||=2|a₁|（*），分情况①当a₁＞2时；②当0＜a₁≤2时．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁＞0，
∴a₂=2-|a₁|=2-a₁，a₃=2-|a₂|=2-|2-a₁|．
当0＜a₁≤2时，a₃=2-（2-a₁）=a₁，∴a₁²=（2-a₁）²，解得a₁=1．
当a₁＞2时，a₃=2-（a₁-2）=4-a₁，∴a₁（4-a₁）=（2-a₁）²，解得a₁=2-

2

（舍去）或a₁=2+

2

．
综上可得a₁=1或a₁=2+

2

．…（6分）
（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则
由2a₂=a₁+a₃，得2（2-a₁）=a₁+（2-|2-a₁|），即|2-a₁|=3a₁-2．
当a₁＞2时，a₁-2=3a₁-2，解得a₁=0，与a₁＞2矛盾；
当0＜a₁≤2时，2-a₁=3a₁-2，解得a₁=1，从而a_n=1（n∈N^*），此时{a_n}是一个等差数列；
综上可知，当且仅当a₁=1时，数列{a_n}为等差数列．…（12分）

点评：本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．