Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+b}{x}$（b为常数）．
（Ⅰ）当f（1）=f（4），函数F（x）=f（x）-k有且仅有一个零点x₀，且x₀＞0时，求k的值；
（Ⅱ）若b＜0，用定义证明函数y=f（x）在区间（0，+∞）上为单调递增函数．
（Ⅱ）若b＞0，当x∈[1，3]时不等式f（x）≥2恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（1）=f（4），可得b=4，再由f（x）的单调性，可得最小值4，即可得到k的值；
（Ⅱ）运用单调性的定义证明，在（0，+∞）任意取x₁，x₂，作差，变形和定符号，下结论几个步骤；
（Ⅲ）求得f（x）的极小值点，讨论当b＞9时，当1≤b≤9时，当0＜b＜1时，由恒成立思想和函数的单调性，即可得到b的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（1）=f（4）
∴$1+b=4+\frac{b}{4}$，得b=4，
又$f（x）=\frac{{{x^2}+4}}{x}=k$仅有一正根，
由f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
且x=2时，取得最小值4，
即有k＞0，且k=4；                            
（Ⅱ）在（0，+∞）任意取x₁，x₂，并假设0＜x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{x_1}^2+b}}{x_1}-\frac{{{x_2}^2+b}}{x_2}$=$（{x_1}-{x_2}）（\frac{{{x_1}{x_2}-b}}{{{x_1}{x_2}}}）$，
由0＜x₁＜x₂，b＜0，即有x₁-x₂＜0，x₁x₂-b＞0，
故f（x₁）＜f（x₂），
即函数y=f（x）在区间（0，+∞）上为单调递增函数．
（Ⅲ）由函数图象知，$f（x）=x+\frac{b}{x}$在$（0，\sqrt{b}）$递减，$（\sqrt{b}，+∞）$递增，
故当b＞9时，x∈[1，3]单调递减，故f（3）≥2，得b≥-3，
因此b＞9成立；
当1≤b≤9时，$f{（x）_{min}}=f（\sqrt{b}）=2\sqrt{b}≥2$，因此1≤b≤9；
当0＜b＜1时，f（x）在[1，3]单调递增，
故f（1）≥2，得b≥1，因此无解．
综上所述，b的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查函数的零点、单调性和不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和分类讨论的思想，考查运算能力，属于中档题．