Question

14．（文科）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=$\frac{n-1}{n}$•a_n-1（n≥2）．
（1）求{a_n}的通项公式
（2）设b_n=${a_n}^2$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：${T_n}＜\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由a_n=$\frac{n-1}{n}$a_n-1 （n≥2），利用“累乘求积”即可得出；
（2）b_n=${a_n}^2$=$\frac{1}{{n}^{2}}$．当n=1时，b₁=1＜$\frac{7}{4}$；当n=2时，b₁+b₂=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$＜$\frac{7}{4}$；当n≥3时，b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，利用“裂项求和”及其不等式的性质即可证明．

解答 （1）解：∵a_n=$\frac{n-1}{n}$a_n-1 （n≥2），
∴a_n-1=$\frac{n-2}{n-1}$a_n-2，…，a₂=$\frac{1}{2}$a₁．
以上（n-1）个式子相乘得：
a_n=a₁•$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•…•$\frac{n-1}{n}$=$\frac{a1}{n}$=$\frac{1}{n}$．
当n=1时也满足此等式，∴a_n=$\frac{1}{n}$．
（2）证明：b_n=${a_n}^2$=$\frac{1}{{n}^{2}}$．
当n=1时，b₁=1＜$\frac{7}{4}$；
当n=2时，b₁+b₂=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$＜$\frac{7}{4}$；
当n≥3时，b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
此时T_n=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$，
∴T_n＜$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了递推关系、“累乘求积”方法、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．