Question

9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（b-a）（sinB+sinA）=（b-a）sinC，cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a=3．
（1）求sinB的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由（b-a）（sinB+sinA）=（b-a）sinC，利用正弦定理可得：（b-a）（b+a）=（b-a）c，由于a+b≠c，可得b=a，再利用余弦定理可得c，进而得出cosB．再利用正弦定理即可得出．
（2）利用S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$即可得出．

解答 解：（1）∵（b-a）（sinB+sinA）=（b-a）sinC，
∴（b-a）（b+a）=（b-a）c，
∵a+b≠c，
∴b=a=3，
∴c²=a²+b²-2abcosC=2×3²-2×3²×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=18-6$\sqrt{3}$，
∵cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
由正弦定理可得：$\frac{3}{sinB}=\frac{\sqrt{18-6\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$，
解得sinB=$\sqrt{\frac{3+\sqrt{3}}{6}}$=$\frac{\sqrt{18+6\sqrt{3}}}{6}$．
（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×3×3×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．