Question

19．△ABC中，cosA=-$\frac{3}{5}$，a=4$\sqrt{2}$，b=5，则向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知通过求解三角形得到角B，再由余弦定理求得c，然后代入投影公式得答案．

解答 解：在△ABC中，∵cosA=-$\frac{3}{5}$，∴sinA=$\frac{4}{5}$．
又a=4$\sqrt{2}$，b=5，
由正弦定理，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得sinB=$\frac{bsinA}{a}=\frac{5×\frac{4}{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由题意可知a＞b，即A＞B，B=$\frac{π}{4}$，
由余弦定理可知$（4\sqrt{2}）^{2}={5}^{2}+{c}^{2}-2×5c×（-\frac{3}{5}）$．
解得：c=1，c=-7（舍去）．
向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影为：|$\overrightarrow{BA}$|cosB=ccosB=$1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了利用正弦定理和余弦定理求解三角形，关键是掌握向量在向量上投影的概念，是中档题．