Question

10．已知{a_n}是正数组成的等比数列，求证：lga₁+lga₃+lga₅+…+lga_2n-1=nlga_n（n∈N^*）

Answer 1

分析 将数列写成a_n=a₁q^n-1，n∈N，a_2n-1=a₁q^2n-2，代入原式左边，再运用对数的运算性质和等差数列求和公式，化简为右边．

解答 证明：因为{a_n}是正数组成的等比数列，设公比为q，
所以a_n=a₁q^n-1，n∈N，
因此，a_2n-1=a₁q^2n-2，
所以lga₁+lga₃+lga₅+…+lga_2n-1
=lg[a₁•a₃•a₅•…•a_2n-1]
=lg[a₁•a₁q²•a₁q⁴•a₁q⁶…a₁q^2n-2]
=lg[a₁ⁿ•q^{2+4+6+…+（2n-2）}]
=lg[a₁ⁿ•q^n（n-1）]
=lg[a₁q^n-1]ⁿ
=nlga_n．证毕．

点评 本题主要考查了数列恒等式的证明，涉及等比数列的性质和对数的运算性质，以及等差数列的求和公式，属于中档题．