Question

20．已知数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R，q≠1，q≠0）的等比数列．若a₁=（d-2）²，a₃=d²，b₁=（q-2）²，b₃=q²．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意自然数n均有$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{2{b}_{2}}$+$\frac{{c}_{3}}{3{b}_{3}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{n{b}_{n}}$=1+a_n+1，求数列{c_n}的通项公式及前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用递推关系、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₃-a₁=2d，
∴d²-（d-2）²=2d，解得 d=2．
∴a₁=0，
∴a_n=2（n-1）．
∵$\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}}$=q²，∴q²=$\frac{{q}^{2}}{（q-2）^{2}}$．
∵q≠0，q≠1，
∴q=3．
又b₁=1，∴b_n=3^n-1．
（2）由题设知$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$=a₂+1，∴．
当n≥2时，$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{2{b}_{2}}$+$\frac{{c}_{3}}{3{b}_{3}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{n{b}_{n}}$=1+a_n+1，
$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{2{b}_{2}}$+$\frac{{c}_{3}}{3{b}_{3}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{（n-1）{b}_{n-1}}$=1+a_n，
两式相减，得$\frac{{c}_{n}}{n{b}_{n}}$=a_n+1-a_n=2．
∴c_n=2nb_n=2n•3^n-1，（c₁=3不适合）．
∴c_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{2n•{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
∴T_n=3+4×3+6×3²+8×3³+…+2n•3^n-1，
3T_n=9+4×3²+…+2（n-1）•3^n-1+2n•3ⁿ，
两式相减，得
-2T_n=6+2×3²+2×3³+…+2×3^n-1-2n•3ⁿ=$\frac{2×3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-2n•3ⁿ=-3+（1-2n）•3ⁿ．
∴T_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}（2n-1）•{3}^{n}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．