Question

11．已知函数f（x）=x²-（3+2a）x+6a，其中a＞0．若有实数b使得$\left\{\begin{array}{l}{f（b）≤0}\\{f{（b}^{2}+1）≤0}\end{array}\right.$成立，则实数a的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[5，+∞）．

Answer 1

分析 求出f（x）的零点，令b和b²+1介于两零点之间，列出不等式组解出．

解答 解：令f（x）=0得x²-（3+2a）x+6a=0，解得x=3或x=2a＞0，
∵b²+1-b=（b-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，∴b²+1＞b．
∵$\left\{\begin{array}{l}{f（b）≤0}\\{f{（b}^{2}+1）≤0}\end{array}\right.$，∴f（x）=0有两个不相等的正根，∴b＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a≤b}\\{{b}^{2}+1≤3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{3≤b}\\{{b}^{2}+1≤2a}\end{array}\right.$．
解得0＜a$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$或a≥5，
∴实数a的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[5，+∞）．
故答案为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[5，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的零点与系数的关系，判断出b和b²+1的大小关系式关键．