Question

3．已知$f（x）=asin（2x+\frac{π}{6}）+b$，（a，b∈R且a≠0）
（1）当a=-2，b=0时，求f（x）的最小正周期与单调减区间；
（2）当$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$时，其值域为[-3，1]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）当a=-2，b=0时，根据函数f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），求得它的周期，再根据正弦函数的单调性求得函数f（x）的减区间．
（2）由条件求得sin（2x+$\frac{π}{6}$）的范围，再分a＞0、a＜0两种情况，分别根据值域求得a、b的值．

解答 解：（1）当a=-2，b=0时，函数f（x）=asin（2x+$\frac{π}{6}$）+b=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$） 的周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函数f（x）的减区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）由$\frac{π}{4}≤x≤\frac{3π}{4}$，则$\frac{2π}{3}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{3}$，∴$-1≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤\frac{1}{2}$．
若a＞0时，由$\left\{{\begin{array}{l}{-a+b=-3}\\{\frac{1}{2}a+b=1}\end{array}}\right.⇒a=\frac{8}{3}\;，b=-\frac{1}{3}$
若a＜0时，由$\left\{{\begin{array}{l}{-a+b=1}\\{\frac{1}{2}a+b=-3}\end{array}}\right.⇒a=-\frac{8}{3}\;，b=-\frac{5}{3}$
综上可得：$a=\frac{8}{3}\;，b=-\frac{1}{3}或者$$a=-\frac{8}{3}\;，b=-\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于基础题．