Question

14．共有4个苹果和4个袋子，将每个苹果都随意装入某个袋子中，每个苹果放入的袋子独立于其它苹果．
（1）记随机变量X表示空袋子的数目，求X的分布列和期望；
（2）将4个袋子分别编号为1，2，3，4号，记1号袋子为空袋的概率为p₁，2号袋子为空袋的概率为p₂，3号袋子为空袋的概率为p₃，4号袋子为空袋的概率为p₄，求p₁、p₂、p₃、p₄；
（3）比较E（X）与p₁+p₂+p₃+p₄的大小；
（4）不计算E（X）与p₁+p₂+p₃+p₄的值，直接解释它们的大小关系．

Answer 1

分析 （1）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．
（2）每个袋子是空袋的概率相等，先求出4个苹果装入3个袋子的种数，再求出4个苹果装入4个袋子的种数，由此能求出结果．
（3）求出EX和p₁+p₂+p₃+p₄，由此能比较E（X）与p₁+p₂+p₃+p₄的大小．
（4）在古典概型中，1号袋子为空袋、2号袋子为空袋、3号袋子为空袋、4号袋子为空袋的概率相等，都等于空个数数学期望的$\frac{1}{4}$，从而E（X）=p₁+p₂+p₃+p₄．

解答 解：（1）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{{C}_{4}^{4}C}_{4}^{4}}{{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{3}{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{53}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}}{{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{3}{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{24}{53}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}}{{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{3}{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{24}{53}$，
P（X=3）=$\frac{{{C}_{4}^{4}C}_{4}^{1}}{{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{3}{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{4}{53}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{53}$	$\frac{24}{53}$	$\frac{24}{53}$	$\frac{4}{53}$

EX=$0×\frac{1}{53}+1×\frac{24}{53}+2×\frac{24}{53}+3×\frac{4}{52}$=$\frac{84}{53}$．
（2）∵4个苹果和4个袋子，将每个苹果都随意装入某个袋子中，每个苹果放入的袋子独立于其它苹果，
将4个袋子分别编号为1，2，3，4号，
∴每个袋子是空袋的概率相等，
∴p₁=p₂=p₃=p₄=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{3}+{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{4}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{3}{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{21}{53}$．
（3）EX=$0×\frac{1}{53}+1×\frac{24}{53}+2×\frac{24}{53}+3×\frac{4}{52}$=$\frac{84}{53}$，
p₁+p₂+p₃+p₄=$\frac{21}{53}×4$=$\frac{84}{53}$．
∴E（X）=p₁+p₂+p₃+p₄．
（4）E（X）表示空袋个数的数学期望，
在古典概型中，1号袋子为空袋、2号袋子为空袋、3号袋子为空袋、4号袋子为空袋的概率相等，都等于空个数数学期望的$\frac{1}{4}$，
∴E（X）=p₁+p₂+p₃+p₄．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．