Question

9．已知曲线方程C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）当m=-6时，求圆心和半径；
（2）若曲线C表示的圆与直线l：x+2y-4=0相交于M，N，且$|{MN}|=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）当m=-6时，方程C：x²+y²-2x-4y+m=0，可化为（x-1）²+（y-2）²=11，即可求得圆心和半径；
（2）利用圆心（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离公式可求得圆心到直线距离d，利用圆的半径、弦长之半、d构成的直角三角形即可求得m的值．

解答 解：（1）当m=-6时，方程C：x²+y²-2x-4y+m=0，可化为（x-1）²+（y-2）²=11，
圆心坐标为（1，2），半径为$\sqrt{11}$；
（2）∵（x-1）²+（y-2）²=5-m，
∴圆心（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
又圆（x-1）²+（y-2）²=5-m的半径r=$\sqrt{5-m}$，$|{MN}|=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，
∴（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{5}}$）²=5-m，得m=4．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．