Question

17．已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=2t-3}\end{array}\right.$（t为参数），圆C的极坐标方程ρ=4cosθ．
（1）将参数方程，极坐标方程化为普通方程；
（2）直线与圆是否相交，不相交，说明理由；相交，求出直线1被圆C所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）直线l消去参数，能求出直线l的普通方程，由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，能求出圆C的直角坐标方程．
（2）圆C圆心C（2，0），半径r=2，求出圆心C（2，0）到直线l：2x-y-1=0的距离d，由d＜r，得直线与圆相交，利用勾股定理能求出直线1被圆C所截得的弦长．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=2t-3}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数，得直线l的普通方程为：2x-y-1=0．
∵圆C的极坐标方程ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，
∴圆C的直角坐标方程为x²+y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4．
（2）∵圆C：（x-2）²+y²=4的圆心C（2，0），半径r=2，
∴圆心C（2，0）到直线l：2x-y-1=0的距离d=$\frac{|4-0-1|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$＜r=2，
∴直线与圆相交，
∴直线1被圆C所截得的弦长：|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{9}{5}}$=$\frac{2\sqrt{55}}{5}$．

点评 本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系的判断，考查弦长的求法，是中档题，解题时要注意点到直线距离公式的合理运用．