Question

18．在如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=2$\sqrt{3}$，设∠ACB=θ，点C到AD的距离为h．
（1）当θ=15°，求h的值；
（2）求AB+BC的最大值．

Answer 1

分析 （1）由θ=15°，可得∠BAC=45°．由AB⊥AD，可得∠D=75°，过点C作CE⊥AD，垂足为E点．在△ACD中，由正弦定理可得：AC．即可得出h=ACsin45°．
（2）在△ABC中，可得∠BAC，于是可得∠DAC=30°+θ．θ∈（0°，60°）．可得∠D=90°-θ．在△ACD中，由正弦定理可得：AC=4cosθ．在△ABC中，由正弦定理可得：AB，BC，化简即可得出．

解答 解：（1）∵θ=15°，∴∠BAC=180°-120°-15°=45°，
∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠D=180°-60°-45°=75°，
如图所示，过点C作CE⊥AD，垂足为E点．
在△ACD中，由正弦定理可得：$\frac{2\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{AC}{sin7{5}^{°}}$，∴AC=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
∴h=ACsin45°=$\sqrt{3}$+1．
（2）在△ABC中，∠BAC=60°-θ，∴∠DAC=30°+θ．θ∈（0°，60°）．
∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠D=180°-60°-（30°+θ）=90°-θ．
在△ACD中，由正弦定理可得：$\frac{2\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{AC}{sin（9{0}^{°}-θ）}$，解得AC=4cosθ．
在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{AC}{sin12{0}^{°}}=\frac{AB}{sinθ}=\frac{BC}{sin（6{0}^{°}-θ）}$，
∴AB=$\frac{ACsinθ}{sin12{0}^{°}}$=$\frac{4\sqrt{3}sin2θ}{3}$，BC=2-$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（2θ-6{0}^{°}）$．
∴AB+BC=$\frac{4\sqrt{3}sin2θ}{3}$+2-$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（2θ-6{0}^{°}）$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+60°）+2≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+2，
∵θ∈（0°，60°），∴（2θ+60°）∈（60°，180°），
∴当2θ+60°=90°，即θ=15°时，AB+BC取最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+2．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、直角三角形的边角关系、三角形内角和定理、三角函数的单调性、倍角公式、诱导公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．