Question

13．F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的两个焦点，M是椭圆上一点，若MF₁⊥MF₂，则点M的横坐标为±$\frac{5\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 求得椭圆的a，b，c，可得焦点的坐标，再设M（m，n），求得向量MF₁的坐标，向量MF₂的坐标，再由向量垂直的条件：数量积为0，结合M在椭圆上，满足椭圆方程，解方程可得m的值．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=5，b=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=4，
F₁（-4，0），F₂（4，0），
设M（m，n），即有$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-4-m，-n），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（4-m，-n），
若MF₁⊥MF₂，则$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-4-m）（4-m）+n²=0，
可得m²+n²=16，①
又M在椭圆上，可得$\frac{{m}^{2}}{25}$+$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，②
由①②解得，m=±$\frac{5\sqrt{7}}{4}$．
故答案为：±$\frac{5\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查解方程的运算求解能力，属于中档题．