Question

5．已知抛物线x²=2py（p＞0），过其焦点$F（0，\frac{p}{2}）$的直线l与抛物线相交于A，B两点，设A，B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．求证：
（1）x₁•x₂=-p²
（2）y₁•y₂=$\frac{p^2}{4}$．

Answer 1

分析 （1）设过其焦点$F（0，\frac{p}{2}）$的直线l的方程为y=kx+$\frac{p}{2}$，代入抛物线x²=2py，运用韦达定理，即可得证；
（2）由A，B在抛物线x²=2py上，代入方程，两式相乘即可得证．

解答 证明：（1）设过其焦点$F（0，\frac{p}{2}）$的直线l的方程为y=kx+$\frac{p}{2}$，
代入抛物线x²=2py，可得
x²-2pkx-p²=0，
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
x₁x₂=-p2；
（2）由A，B在抛物线x²=2py上，可得
y₁=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$，y₂=$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$，
即有y₁y₂=$\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{4}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$．

点评 本题考查抛物线的方程的运用，注意联立直线方程和抛物线方程，消去一个变量，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．