Question

17．已知a＞0，命题p：?x＞0，x+$\frac{a}{x}$≥2恒成立，命题q：?k∈R，直线kx-y+2=0与椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1有公共点，求使得p∨q为假命题的实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．

解答 解：命题p：因为a＞0时，对?x＞0，x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$，则2$\sqrt{a}$≥2，即a≥1；
命题q：将直线kx-y+2=0代入椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1得：（k²+a²）x²+4kx+4-a²=0，
则△=4a²（a²+k²-4）≥0，即a²≥-k²+4；
而-k²+4在R上的最大值为4；
∴a²≥4，∵a＞0，∴解得a≥2；
（或者直线kx-y+2=0经过定点（0，2），则$0+\frac{4}{a^2}≤1$，
∵a＞0，∴解得a≥2）
则p∨q为假命题时，$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{0＜a＜2}\end{array}}\right.$
综上可得，a的取值范围是0＜a＜1．

点评 本题主要考查复合命题的真假关系的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．