Question

7．把函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，再向下平移$\frac{1}{2}$个单位后，得到函数g（x）的图象，已知g（x）的图象关于点（$\frac{π}{4}$，0）对称．
（1）求ω的值；
（2）求函数g（x）在x∈[0，4π]上的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数的图象的对称性求得ω的值．
（2）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数g（x）在x∈[0，4π]上的单调区间．

解答 解：（1）把函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2ω（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]+$\frac{1}{2}$的图象；
再向下平移$\frac{1}{2}$个单位后，得到函数g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2ω（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]的图象．
再根据g（x）的图象关于点（$\frac{π}{4}$，0）对称，可得g（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2ω（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=0，故sin（ωπ-$\frac{π}{4}$）=0，
故ωπ-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，∴ω=$\frac{1}{4}$．
（2）由（1）可得g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2•$\frac{1}{4}$•（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{8}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{8}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤4kπ+$\frac{5π}{4}$，故函数的增区间为[4kπ-$\frac{3π}{4}$，4kπ+$\frac{5π}{4}$]，k∈Z．
同理，求得函数的减区间为[4kπ+$\frac{5π}{4}$，4kπ+$\frac{13π}{4}$]，k∈Z．
根据x∈[0，4π]，可得函数的单调增区间为[0，$\frac{5π}{4}$]，[$\frac{13π}{4}$，4π]； 函数的单调减区间为[$\frac{5π}{4}$，$\frac{13π}{4}$]．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性，属于中档题．