Question

6．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（7，8），B（0，4），C（2，-4）．求：
（1）AB边上中线所在的直线方程；
（2）BC边上高线所在的直线方程；
（3）△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得AB的中点坐标，可得中线的斜率，可得方程；
（2）由题意可得BC的斜率，由垂直关系可得高线的斜率，可得方程；
（3）可得BC的方程，可求A（7，8）到直线的距离即三角形的高，再由距离公式求得BC，代入面积公式可得．

解答 解：（1）由题意可得AB的中点为D（$\frac{7}{2}$，6），
∴AB边上中线CD的斜率k=$\frac{-4-6}{2-\frac{7}{2}}$=$\frac{20}{3}$，
∴中线CD的方程为y-（-4）=$\frac{20}{3}$（x-2），
整理为一般式可得20x-3y-52=0；
（2）由题意可得BC的斜率为$\frac{-4-4}{2-0}$=-4，
∴BC边上高线所在的直线的斜率为$\frac{1}{4}$，
故方程为y-8=$\frac{1}{4}$（x-7），即x-4y+25=0；
（3）由（2）可得BC的方程为y-4=-4x，即4x+y-4=0，
∴A（7，8）到直线4x+y-4=0的距离d=$\frac{|28+8-4|}{\sqrt{{4}^{2}+1}}$=$\frac{32}{\sqrt{17}}$，
由两点间的距离公式可得BC=$\sqrt{（0-2）^{2}+（-4-4）^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{17}$×$\frac{32}{\sqrt{17}}$=8

点评 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及距离公式和三角形的面积公式，属基础题．