Question

已知|

a

|=2，|

b

|=3，

a

与

b

的夹角为120°
（Ⅰ）求|

a

+

b

|；
（Ⅱ）当x为何值时，x

a

-

b

与

a

+3

b

垂直？

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）先将向量的模平方，利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的运算法则展开，求出值，再将值开方即可．
（Ⅱ），x

a

-

b

与

a

+3

b

垂直，那么它们的数量积为0，得到关于x的方程解之即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵|

a

|=2，|

b

|=3，

a

与

b

的夹角为120°
∴|

a

+

b

|²=|

a

|²+|

b

|²+2

a

•

b

=4+9+2|

a

||

b

|cos120°=4+9-2×2×3×

1

2

=7，
∴|

a

+

b

|=

7

；
（Ⅱ）x

a

-

b

与

a

+3

b

垂直，
∴（x

a

-

b

）•（

a

+3

b

）=0，即x|

a

|²-3|

b

|²+（3x-1）

a

•

b

=0，
∴4x-27-（3x-1）×2×3×

1

2

=0即-5x-24=0
解得x=-

24

5

．
∴x=-

24

5

时，x

a

-

b

与

a

+3

b

垂直．

点评：本题主要考查向量的数量积和求向量的模的问题，一般将模平方，利用模的平方等于向量本身的平方，利用向量的运算法则展开即可得．