Question

已知函数f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，a＞1．
（Ⅰ）用a表示f（2）、f（3）并化简；
（Ⅱ）比较f（2）-2与f（1）-1，f（3）-3 与f（2）-2的大小关系，并由此归纳出一个更一般的结论（此结论不要求写出证明过程）；
（Ⅲ）比较

f(2)

2

与

f(1)

1

，

f(3)

3

与

f(2)

2

的大小关系，并由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）先根据函数f（x）的表达式直接把x=2，x=3代入计算即得．
（2）直接计算f（1）-1与f（2）-2、f（2）-2与f（3）-3，进行比较．比较大小可用做差比较法．
归纳一般的结论，构造函数利用单调性进行证明．
（3）利用基本不等式和做差比较法比较大小，归纳结论，构造函数进行证明．

解答：解：（Ⅰ）f(2)=a+

1

a

，f(3)=a2+

1

a2

+1，…（2分）
（Ⅱ）f(2)-2=a+

1

a

-2＞0=f(1)-1，f(3)-3-[f(2)-2]=

(a-1)(a3-1)

a2

＞0，
一般地，f（n+1）-（n+1）＞f（n）-n（n∈N*）       …（6分）
（Ⅲ） 

f(2)

2

-

f(1)

1

=

1

2

(a+

1

a

)-1＞0，所以

f(2)

2

＞

f(1)

1

…（7分）
判断

f(3)

3

＞

f(2)

2

，证明如下：

f(3)

3

＞

f(2)

2

?2(a4+a2+1)＞3a(a2+1)?(a2+1)2-a2＞

3

2

a(a2+1)?(a2+1)(a2+1-

3

2

a)＞a2，（*）
因为a²+1＞2a＞0，a2+1-

3

2

a＞

1

2

a＞0，所以（*）式显然成立，所以

f(3)

3

＞

f(2)

2

．…（9分）
一般地

f(n+1)

n+1

＞

f(n)

n

（n∈N*）               …（10分）
证明如下：

f(n+1)

n+1

＞

f(n)

n

?nf(n+1)＞(n+1)f(n)?n(a-1)(a2n+1+1)＞a2n+1-a

?n(a2n+1+1)＞

a(1-a2n)

1-a

?

n

i=1

(a2n+1-a2n-i+1-ai+1)＞0?

n

i=1

(a2n-i+1-1)(ai-1)，
此式显然成立，
故

f(n+1)

n+1

＞

f(n)

n

（n∈N*）…（15分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、数列与不等式的综合、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．