【题目】一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动,其落点坐标依次是
,(如图所示,
坐标以已知条件为准),
表示青蛙从点
到点
所经过的路程.
(1)若点为抛物线
(
)准线上一点,点
均在该抛物线上,并且直线
经过该抛物线的焦点,证明
.
(2)若点要么落在
所表示的曲线上,要么落在
所表示的曲线上,并且
,试写出
(不需证明);
(3)若点要么落在
所表示的曲线上,要么落在
所表示的曲线上,并且
,求
的表达式.
【答案】解:(1)设,由于青蛙依次向右向上跳动,
所以,
,由抛物线定义知:
分
(2) 依题意,
随着的增大,点
无限接近点
分
横向路程之和无限接近,纵向路程之和无限接近
分
所以=
分
(3)方法一:设点,由题意,
的坐标满足如下递推关系:
,且
其中分
∴,即
,
∴是以
为首项,
为公差的等差数列,
∴,
所以当为偶数时,
,于是
,
又
∴当为奇数时,
分
当为偶数时,
当为奇数时,
所以,当为偶数时,
当为奇数时,
所以,分
方法二:由题意知
其中
观察规律可知:下标为奇数的点的纵坐标为首项为,公比为
的等比数列.相邻横坐标之差为首项为2,公差为1的等差数列.下标为偶数的点也有此规律.并由数学归纳法可以证明.
分
所以,当为偶数时,
当为奇数时,
当为偶数时,
当为奇数时,
分
所以,分
【解析】
试题(1)直接借助题设求解即可获证;(2)运用题设条件和极限思想表示出来再求解即可;(3)运用题设中提供的信息分类进行求解.
试题解析:(1)设,由于青蛙依次向右向上跳动,
所以,
,由抛物线定义知:
.
(2)依题意,,
,
(
)
随着的增大,点
无限接近点
,
横向路程之和无限接近,纵向路程之和无限接近
,
所以.
(3)方法一:设点,则题意,
的坐标满足如下递推关系:
,且
,
(
)
其中,
∴,即
,
∴是以
为首项,2为公差的等差数列,
∴,
所以当为偶数时,
,于是
,
又,
∴当为奇数时,
,
,
当为偶数时,
当为奇数时,
所以,当为偶数时,
当为奇数时,
所以,.
方法二:由题意知,
,
,
,
,
,…
其中,
,
,
,…
,
,
,
…
观察规律可知:下标为奇数的点的纵坐标为首项为,公比为4的等比数列,相邻横坐标之差为首项为2,公差为1的等差数列,下标为偶数的点也有此规律,并由数学归纳法可以证明.
所以,当为偶数时,
当为奇数时,
,
当为偶数时,
当为奇数时,
所以,.
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【题目】同学们有没有读过莎士比亚的名剧《威尼斯商人》?数学家斯摩林在剧中增加了一个情节:安东尼奥到鲍西娅家向她求婚,鲍西娅拿出一金、一银、一铝三个盒子,说:“每只盒子上写了一句话,但只有一句是真的.谁能猜中我的肖象在哪只盒子中,才能做我的丈夫”.如果你是聪明、政治的安东尼奥,请问肖象在哪个盒子内?(请从金盒、银盒、铝盒中选择一个填在横线上)________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于或等于2,则称这个数列为“D数列”.
(1)若首项为1的等差数列的每一项均为正整数,且数列
为“D数列”,其前n项和
满足
(
),求数列
的通项公式;
(2)已知等比数列的每一项均为正整数,且数列
为“D数列”,
,设
(
),试判断数列
是否为“D数列”,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
(Ⅰ)求证:PE⊥BC;
(Ⅱ)求证:平面PAB⊥平面PCD;
(Ⅲ)求证:EF∥平面PCD.
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【题目】三棱柱中,
为
的中点,点
在侧棱
上,
平面
(1) 证明:是
的中点;
(2) 设,四边形
为边长为4正方形,四边形
为矩形,且异面直线
与
所成的角为
,求该三棱柱
的体积.
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