Question

【题目】设函数f（x）= ﹣
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明函数f（x）在（﹣∞，+∞）内是增函数；
（3）求函数f（x）在[1，2]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）证明：函数f（x）的定义域为R，

∵f（x）= ﹣ = ，

则f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），

即函数f（x）是奇函数

（2）证明：∵y=2x+1是增函数，

∴y=﹣ 是增函数，f（x）= ﹣ 在（﹣∞，+∞）内是增函数

（3）解：∵f（x）= ﹣ 在（﹣∞，+∞）内是增函数，

∴函数f（x）在[1，2]上也是增函数，

即f（1）≤f（x）≤f（2），

即 ≤f（x）≤ ，

即此时函数的值域为[ ， ]

【解析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可证明函数f（x）是奇函数；（2）根据函数单调性的性质即可证明函数f（x）在（﹣∞，+∞）内是增函数；（3）利用函数单调性的性质即可求函数f（x）在[1，2]上的值域．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能得出正确答案．