Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（ ， ）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M． ①设直线OM的斜率为k1 ， 直线BP的斜率为k2 ， 求证：k1k2为定值；
②设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意椭圆E： =1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（ ， ），

∴c=1，

∴解得a=2，b= ，

∴椭圆E的标准方程为

（2）解：①设P（x0，y0）（y0≠0），

则直线AP的方程为：y= （x+2）

令x=2得M（2， ）

∴k1= ，

∵k2= ，

∴k1k2= ，

∵P（x0，y0）在椭圆上，∴ =1

∴k1k2=﹣ 为定值．

②直线BP的斜率为 ，直线m的斜率为km= ，

则直线m的方程为y= （x﹣2）+y0= （x﹣2）+ = （x+1），

所以直线m过定点（﹣1，0）

【解析】（1）由题意c=1， ，解出即可；（2）①设P（x0 ， y0）（y0≠0），即可得出直线AP的方程，令x=2，即可得到点M的坐标，利用斜率计算公式即可得出k1 ， k2 ， 再利用点P在椭圆上即可证明．②利用直线的点斜式及其①的有关结论即可证明．