Question

【题目】设 （a，b为实常数）．
（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（3）当f（x）是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的x、c，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：举出反例即可． ， ， ，

所以f（﹣1）≠﹣f（1），f（x）不是奇函数

（2）解：f（x）是奇函数时，f（﹣x）=﹣f（x），即 对定义域内任意实数x成立．

化简整理得（2a﹣b）22x+（2ab﹣4）2x+（2a﹣b）=0，这是关于x的恒等式，所以 所以 或 ． 经检验都符合题意

（3）解：当 时， ，

因为2x＞0，

所以2x+1＞1， ，从而 ；

而 对任何实数c成立；

所以可取D=R对任何x、c属于D，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．

当 时， ，

所以当x＞0时， ；

当x＜0时， ；

1）因此取D=（0，+∞），对任何x、c属于D，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．当c＜0时，c2﹣3c+3＞3，解不等式 得： ．

所以取 ，对任何属于D的x、c，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立

【解析】（1）举出反例即可，只要检验f（﹣1）≠﹣f（1），可说明f（x）不是奇函数；（2）由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），即 对定义域内任意实数x成立．整理可求a，b（3）当 时， ，由指数函数的性质可求f（x），由二次函数的性质可求 ，可求 当 时， ，当x＞0时， ；当x＜0时， ，结合二次函数的性质可求c2﹣3c+3的范围，即可求解
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的奇偶性的相关知识，掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．