Question

【题目】设函数.

（1）讨论函数的极值;

（2）若为整数,,且,不等式成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数无极值；当时，有极大值，无极小值；（2）2

【解析】

（1）先对函数求导，得到，分别讨论与两种情况，用导数的方法研究函数单调性，即可求出结果；

（2）先由，将不等式化为，进而将问题转化为恒成立；令，，用导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果.

（1）因为，所以，

当时，恒成立，因此在上单调递减，此时无极值；

当时，由得；由得；

所以在上单调递增，在上单调递减，

因此有极大值；

综上所示，当时，函数无极值；当时，有极大值，无极小值；

（2）当时，，

所以不等式可化为，

因此,不等式成立，可化为恒成立；

令，，

则，

令，

则，

因为，所以，

所以在上单调递增，

又，，

所以存在，使得，即；

所以当时，，即，单调递减；

当时，，，单调递增；

所以，

因此只需，即的最大值为