Question

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）当x∈（0，e]时，证明：e2x2-

5

2

x＞(x+1)lnx．

Answer 1

分析：（I）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e²能够保证当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．
（Ⅲ）当x∈（0，e]时，对e2x2-

5

2

x＞(x+1)lnx，两边同除以x并整理可得e²x-lnx＞

5

2

+

lnx

x

，问题可转化为证明（e²x-lnx）_min＞(

5

2

+

lnx

x

)max，由（II）可知，（e²x-lnx）_min=3，利用导数可求得(

5

2

+

lnx

x

)max；

解答：解：（I）a=1时，函数f（x）=x²+x-lnx，
∴f′（x）=2x+1-

1

x

，则切线斜率k=f′（1）=2，
又f（1）=2，∴切点为（1，2），
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-2=2（x-1），即y=2x．
（II）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
g′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
①当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，解得a=

4

e

（舍去）；
②当0＜

1

a

＜e时，g（x）在 （0，

1

a

）上单调递减，在 （

1

a

，e]上单调递增，
∴g（x）min=g（

1

a

）=1+lna=3，解得a=e²，满足条件；
③当

1

a

≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，解得a=

4

e

（舍去）；
综上，存在实数a=e²，使得当x∈（0，e]时，g（x）有最小值3．
（Ⅲ）当x∈（0，e]时，对e2x2-

5

2

x＞(x+1)lnx，两边同除以x，得e2x-

5

2

＞（1+

1

x

）lnx，
整理得，e²x-lnx＞

5

2

+

lnx

x

，
可证（e²x-lnx）_min＞(

5

2

+

lnx

x

)max，
由（II）可知，（e²x-lnx）_min=3，
令h（x）=

5

2

+

lnx

x

（0＜x≤e]，则h′（x）=

1-lnx

x2

≥0，
∴h（x）在（0，e]上单调递增，
∴h（x）_max=(

5

2

+

lnx

x

)max=

5

2

+

lne

e

=

5

2

+

1

e

＜

5

2

+

1

2

=3，即（e²x-lnx）_min＞(

5

2

+

lnx

x

)max，
∴x∈（0，e]时，e2x2-

5

2

x＞(x+1)lnx．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值及证明不等式问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性较强，有一定难度．注意（Ⅲ）问中，（e²x-lnx）_min＞(

5

2

+

lnx

x

)max是所证不等式成立的充分不必要条件．