Question

已知集合A={x|（x-3）（x-3a-5）＜0}，函数y=lg（-x²+5x+14）的定义域为集合B．
（1）若a=4，求集合A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用a=4，求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，即可求解集合A∩B．
（2）通过“x∈A”是“x∈B”的充分条件，推出关于a的表达式，求出a的范围．

解答：解：（1）因为集合A={x|（x-3）（x-3a-5）＜0}，
a=4，所以（x-3）（x-3a-5）＜0⇒（x-3）（x-17）＜0，
解得3＜x＜17，所以A={x|3＜x＜17}，
由函数y=lg（-x²+5x+14）可知-x²+5x+14＞0，解得：-2＜x＜7，
所以函数的定义域为集合B={x|-2＜x＜7}，
集合A∩B={x|3＜x＜7}；
（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，即x∈A，则x∈B，集合B={x|-2＜x＜7}，
当3a+5＞3即a＞-

2

3

时，3a+5≤7，解得-

2

3

＜a≤

2

3

．
当3a+5≤3即a≤-

2

3

时，3a+5＞-2，解得-

2

3

≥a＞-

7

3

．
综上实数a的取值范围：-

7

3

＜a≤

2

3

．

点评：本题考查二次不等式的解法，对数函数的定义域的求法，集合的交集与充要条件的应用，考查计算能力．