Question

2．已知函数 f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$，g （x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{x^3}{3}$，设函数F（x）=f（x-4）?g（x+3），且函数 F （ x） 的零点均在区间[a，b]（ a＜b，a，b∈Z ）内，则 b-a 的最小值为6．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，求出f（x）的单调区间，从而求出其零点的范围，求出f（x-4）的零点所在的范围；通过讨论x的范围，求出g（x）在R的导数，得到g（x）的单调区间，从而求出g（x+3）所在的零点的范围，F （ x） 的零点均在区间[a，b]，进而求出a，b的值，求出答案即可．

解答 解：∵函数 f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$，f′（x）=1-x+x²＞0，∴f（x）在R单调递增，而f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$＜0，
∴函数f（x）在区间（-1，0）内有零点，∴函数f（x-4）在[3，4]上有一个零点，
函数g （x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{x^3}{3}$，g′（x）=-1+x-x²＜0，∴f（x）在R单调递减，而g（1）=1-1+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$＞0，g（2）=1-2+2$-\frac{8}{3}$＜0，
∴函数g（x）在区间（1，2）内有零点，∴函数g（x+3）在[-2，-1]上有一个零点，
函数F（x）=f（x-4）?g（x+3），且函数 F （ x） 的零点在区间[-2，4]内，
则 b-a 的最小值为：6．
故答案为：6．

点评 本题考查函数的单调性的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力．