Question

17．已知 x＞1，y＞1，且 lg x，$\frac{1}{4}$，lg y 成等比数列，则 xy 有（　　）

• A． 最小值10
• B． 最小值$\sqrt{10}$
• C． 最大值10
• D． 最大值  $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由题意和等比中项的性质列出方程，由条件和基本不等式列出不等式，由对数的运算法则求出xy的最小值．

解答 解：∵lg x，$\frac{1}{4}$，lg y成等比数列，
∴$（\frac{1}{4}）^{2}$=（lg x）（lg y），即 （lg x）（lg y）=$\frac{1}{16}$，
又 x＞1，y＞1，∴lg x＞0，lg y＞0，
∴lg x+lg y$≥2\sqrt{（lgx）（lgy）}=\frac{1}{2}$，
当且仅当lg x=lg y时，即x=y取等号，
∴lg x+lg y=lg（x y）≥$\frac{1}{2}$，则xy≥$\sqrt{10}$，
 即xy 有最小值是$\sqrt{10}$，
故选B．

点评 本题考查等比中项的性质，基本不等式，以及对数的运算法则的应用，属于基础题．