Question

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD

(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；

(2)求PC与平面PBD所成的角；

(3)在线段PB上是否存在一点E，使得PC⊥平面ADE？若存在，请加以证明，并求此时二面角A—ED－B的大小；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，又∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又平面PBD，∴平面PAC⊥平面PB D． (2)记AC与BD相交于O，连结PO，由(1)知，AC⊥平面PBD，∴PC在面PBD内的射影是PO，∴∠CPO就是PC与面PBD所成的角，∵PD＝AD，∴在Rt△PDC中，，而在正方形ABCD中，，∴在Rt△POC中，有∠CPO＝30°，即PC与面PBD所成的角为30°． (3)在面PBD内作DE⊥PO交PB于点E，连AE，则PC⊥平面ADE，证明如下：由(1)知，AC⊥平面PBD，∴AC⊥DE，又PO、AC交于点O，∴DE⊥平面PAC，∴DE⊥PC，而PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD， 又∵AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∴AD⊥PC，∴PC⊥面ADE，过点O作OF⊥DE于F，连AF，由三垂线定理可得，AF⊥DE，则∠OFA是二面角A—ED—B的平面角，设PD＝AD＝a， 在Rt△PDC中，求得，而，∴在Rt△AOF中，∠OFA＝60°，即所求的二面角A—ED—B的大小为60°．