Question

14．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，A₁，A₂是椭圆C的长轴的两个端点（A₂位于A₁右侧），B是椭圆在y轴正半轴上的顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在经过点（0，$\sqrt{2}$）且斜率为k的直线l与椭圆C交于不同两点P和Q，使得向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{{A_2}B}$共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆结果的点以及离心率列出方程组，求解a，b即可得到椭圆方程．
（2）设直线l的方程为：$y=kx+\sqrt{2}$，通过$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.⇒$$（\frac{1}{2}+{k^2}）{x^2}+2\sqrt{2}kx+1=0$．令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用判别式以及韦达定理，通过向量关系求解直线的斜率即可．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
依题意得$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}={b^2}+{c^2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1}\end{array}}\right.$解得a²=2，b²=1．
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）假设存在过点$（0，\sqrt{2}）$且斜率为k的直线l适合题意，
则因为直线l的方程为：$y=kx+\sqrt{2}$，于是联立方程，
$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.⇒$$（\frac{1}{2}+{k^2}）{x^2}+2\sqrt{2}kx+1=0$．
由直线l与椭圆C交于不同两点P和Q知，$△=8{k^2}-4（\frac{1}{2}+{k^2}）$=4k²-2＞0，
∴${k^2}＞\frac{1}{2}$．
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$，
∵${x_1}+{x_2}=-\frac{{4\sqrt{2}k}}{{1+2{k^2}}}$，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2\sqrt{2}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{{1+2{k^2}}}$，
∴$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=（-\frac{{4\sqrt{2}k}}{{1+2{k^2}}}，\frac{{2\sqrt{2}}}{{1+2{k^2}}}）$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{{1+2{k^2}}}（-2k，1）$，
由题知${A_2}（\sqrt{2}，0）$，B（0，1），$\overrightarrow{{A_2}B}（-\sqrt{2}，1）$．
从而，根据向量$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$与A₂B共线，可得$2k=\sqrt{2}$，$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，这与${k^2}＞\frac{1}{2}$矛盾．
故不存在符合题意的直线l．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，解析几何与向量的应用，设而不求方法的应用．