Question

对于任意的实数a、b，记max{a，b}=

a(a≥b) b(a＜b)

．设F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中g（x）=

1

3

x，y=f（x）是奇函数．当x≥0时，y=f（x）的图象与g（x）的图象如图所示．则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（　　）

A．y=F（x）有极大值F（-1）且无最小值

B．y=F（x）为奇函数

C．y=F（x）的最小值为-2且最大值为2

D．y=F（x）在（-3，0）上为增函数

Answer 1

分析：先由图象观察求出当x＞0时的表达式f（x）=a（x-1）²-2，其中a＞0，不妨取a=1；因为函数f（x）是奇函数，所以当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-（x+1）²+2．因此，f(x)=

(x-1)2-2 ，当x＞0时 0，  当x=0时 -(x+1)2+2，  当x＜0时

，分别画出y=f（x）及y=g（x）的图象，即可得出函数y=F（x）的图象及表达式，进而可求出函数y=F（x）的有关性质．

解答：解：当x＞0时，由图象可知：函数y=f（x）是二次函数的一部分，并且知道顶点为（1，-2），不妨取a=1，可得f（x）=（x-1）²-2；
∵函数f（x）是R上的奇函数，∴当x＜0时，-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-（x+1）²+2；易知f（0）=0；
∴f(x)=

(x-1)2-2 ，当x＞0时 0，  当x=0时 -(x+1)2+2，  当x＜0时

分别画出y=f（x）及y=g（x）的图象，
①当x＞0时，由(x-1)2-2=

1

3

x，解得x=

7+ 85

6

；
②当x＜0时，由-(x+1)2+2=

1

3

x，解得x=

-7- 85

6

；
由F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），可得函数F（x）的图象及表达式
F（x）=

(x-1)2-2  ，当x＞ 7+ 85 6 时 1 3 x  ，当0≤x≤ 7+ 85 6 或x≤ -7- 85 6 时 -(x+1)2+2  ，当 -7- 85 6 ＜x＜0时

，
1°当x＞

7+ 85

6

时，显然F（x）=（x-1）²-2单调递增，故此时无最大值；
2°当0≤x≤

7+ 85

6

时，F（x）=

1

3

x单调递增，所以0≤F(x)≤

7+ 85

18

；
3°当

-7- 85

6

＜x＜0时，F（x）=-（x+1）²+2，有F^′（x）=-2x-2，令F^′（x）=0，则x=-1，易知，当x=-1时，F（x）有极大值F（-1）；
4°当x≤

-7- 85

6

时，F（x）=

1

3

x单调递增，故F（x）≤

-7- 85

18

．

综上可知：y=F（x）既无最大值，也无最小值，但有极大值F（-1），而在(-

7+ 85

6

，-1]上单调递增，在[-1，0]上单调递减．
故应选A．

点评：本题考查了函数的奇偶性、分段函数的图象与性质及数形结合的思想方法．