Question

已知对于任意的实数a，b都有（a+b）²≤2（a²+b²）恒成立，则函数f（x）=|sinx|+|cosx|的值域是

 

．

Answer 1

分析：由题意得f（x）＞0，利用条件求出f²（x）的范围，即可得到f（x）的范围．

解答：解：∵对于任意的实数a，b都有（a+b）²≤2（a²+b²）恒成立，函数f（x）=|sinx|+|cosx|＞0，
∴f²（x）=（|sinx|+|cosx|）²≤2[（|sinx|）²+（|cosx|）²]=2，
又∵f²（x）=（|sinx|+|cosx|）²=（|sinx|）²+（|cosx|）²+2|sinx|•|cosx|≥（|sinx|）²+（|cosx|）²=1，
∴1≤f²（x）≤2，∴1≤f（x）≤

2

，∴函数f（x）=|sinx|+|cosx|的值域是[1，

2

]．
故答案为：[1，

2

]．

点评：本题考查求三角函数的最值的方法，根据f（x）＞0，利用条件求出f²（x）的范围，即可得到f（x）的范围，
体现了转化的数学思想．