Question

已知对于任意的实数a，b都有（a+b）²≤2（a²+b²）恒成立，则函数f（x）=|sinx|+|cosx|的值域是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意得f（x）＞0，利用条件求出f²（x）的范围，即可得到f（x）的范围．
解答：解：∵对于任意的实数a，b都有（a+b）²≤2（a²+b²）恒成立，函数f（x）=|sinx|+|cosx|＞0，
∴f²（x）=（|sinx|+|cosx|）²≤2[（|sinx|）²+（|cosx|）²]=2，
又∵f²（x）=（|sinx|+|cosx|）²=（|sinx|）²+（|cosx|）²+2|sinx|•|cosx|≥（|sinx|）²+（|cosx|）²=1，
∴1≤f²（x）≤2，∴1≤f（x）≤，∴函数f（x）=|sinx|+|cosx|的值域是[1，]．
故答案为：[1，]．
点评：本题考查求三角函数的最值的方法，根据f（x）＞0，利用条件求出f²（x）的范围，即可得到f（x）的范围，
体现了转化的数学思想．