Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象在y轴右边的第一个最高点、最低点的坐标分别是（2，2

2

）和（10，-2

2

）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）指出函数f（x）的图象是由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到的．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：A=2

2

，并且周期T=16，再根据周期公式可得ω=

π

8

，又函数的一个最高点是（2，2

2

），并且0＜φ＜π，可得φ=

π

4

，进而得到函数的解析式．
（2）将函数y=sinx的图象先向左平移

π

4

个单位，再将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的

8

π

倍，最后将纵坐标伸长为原来的2

2

倍，则可得答案．

解答：解：（1）因为函数图象在y轴右边的第一个最高点、最低点的坐标分别是（2，2

2

）和（10，-2

2

），
所以A=2

2

，并且周期T=2（10-2）=16，
所以根据周期公式T=

2π

|ω|

可得ω=

π

8

，
所以y=2

2

sin（

π

8

x+φ）．
因为函数的一个最高点是（2，2

2

），并且0＜φ＜π，
所以φ=

π

4

．
所以函数f（x）解析式为 y=2

2

sin(

π

8

x+

π

4

)．
（2）将函数y=sinx的图象先向左平移

π

4

个单位，得到函数y=sin（x+

π

4

）的图象，再将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的

8

π

倍（纵坐标不变），最后将所得函数的图象纵坐标伸长为原来的2

2

倍，则所得到的函数图象对应的函数解析式为：y=2

2

sin（

π

8

x+

π

4

）．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象平移变换，在进行平移变换时要注意是先变换ω还是先变换φ，先变换ω与先变换φ的过程是不同的，此题考查学生的逻辑思维能力与推理论证能力，此题是中档题．