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    9．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题：
    ①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；
    ②若A，P，M三点共线，则$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$；
    ③若$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，则C1Q∥面APC；
    ④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7．
    其中正确命题的个数为（　　）
    A．1B．2C．3D．4

    分析 ①MN中点R，AC的中点S，设BD1与RS的交点是Q，若P与Q重合时，此时MN在平面PAC内，即可判断出正误；
    ②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，由平行线的性质可得，$\frac{{D}_{1}P}{BP}$=$\frac{{D}_{1}M}{AB}$=$\frac{1}{2}$，即可判断出正误；
    ③若$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，可得四边形OQC1M是平行四边形，于是C1Q∥OM，即可判断出正误．
    ④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条．过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有3条，即可判断出正误．

    解答 解：①MN中点R，AC的中点S，设BD1与RS的交点是Q，若P与Q重合时，此时MN在平面PAC内，故1错误
    ②若A，P，M三点共线，②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，
    ∴$\frac{{D}_{1}P}{BP}$=$\frac{{D}_{1}M}{AB}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，正确；
    ③若$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，连接OM，OQ，则四边形OQC1M是平行四边形，
    ∴C1Q∥OM，
    而M点在平面APC内，
    ∴C1Q∥平面APC，因此正确；
    ④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条．
    连接B1C，A1C1∥AC，由正方体的性质可得△AB1C是等边三角形，则点P取点D1，则直线AD1，CD1、D1B1满足条件，∴过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有3条，则m+n=7条，因此正确．
    其中正确命题为②③④，其个数为3．
    故选：C．

    点评 本题考查了正方体的性质、平行线分线段成比例定理、线面平行的判定与性质定理、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．

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