Question

14．设0＜a＜1，已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-xlnx，0＜x≤a\\ \frac{1}{e}cos2πx，a＜x≤1\end{array}$，若对任意b∈（0，$\frac{1}{e}}$），函数g（x）=f（x）-b至少有两个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{e}}]$
• B． $（{0，\frac{3}{4}}]$
• C． $[{\frac{1}{e}，1}）$
• D． $[{\frac{1}{e}，\frac{3}{4}}]$

Answer 1

分析 若a＜$\frac{1}{e}$，则当x=a时，函数取极大值f（a）=-alna＜$\frac{1}{e}}$，不满足条件，结合函数的零点$\frac{3}{4}$∈（a，1]，可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-xlnx，0＜x≤a\\ \frac{1}{e}cos2πx，a＜x≤1\end{array}$，
∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx-1，0＜x≤a}\\{-\frac{2π}{e}sin2πx，a＜x≤1}\end{array}\right.$，
若a＜$\frac{1}{e}$，则当x=a时，函数取极大值f（a）=-alna＜$\frac{1}{e}}$，
当b∈（-alna，$\frac{1}{e}}$）时，函数g（x）=f（x）-b有且只有一个零点，
故a≥$\frac{1}{e}}$，
令f（x）=0，x∈（0，1]，则x=$\frac{3}{4}$，
故$\frac{3}{4}$∈（a，1]，即a≤$\frac{3}{4}$，
综上可得：a∈$[{\frac{1}{e}，\frac{3}{4}}]$，
故选：D

点评 本题考查的知识点是函数零点，分段函数的应用，利用导数研究函数的极值，难度中档．