Question

20．若关于x的方程x²+$\frac{2a{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$+a²-1=0有唯一解，则实数a的值为1．

Answer 1

分析 令f（x）=x²+$\frac{2a{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$+a²-1，则函数是偶函数，关于x的方程x²+$\frac{2a{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$+a²-1=0有唯一解，可得f（0）=0，即可求出实数a的值，注意检验．

解答 解：令f（x）=x²+$\frac{2a{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$+a²-1，则函数是偶函数，
∵关于x的方程x²+$\frac{2a{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$+a²-1=0有唯一解，
∴f（0）=0+0+a²-1=0，
∴a=1或-1，
当a=1时，x²+$\frac{2a{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$+a²-1=0的解为0；
当a=-1时，x²+$\frac{2a{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$+a²-1=0的解为0，-1，1．
故a=1符合题意（-1舍去）．
故答案为：1．

点评 本题考查方程有解的条件，注意运用函数的奇偶性，考查运算能力，属于基础题．